De Mach-Zehnder interferometer – een correctie

In het boek wordt bij de werking van de Mach-Zehnder interferometer uitgelegd dat de lichtgolf en ook de kwantumgolf bij elke spiegeling een fasesprong van 90 graden maakt. Dat is helaas niet zo.

Een reflectie waarbij de het spiegelend oppervlak de grens is tussen een media met een hoge snelheid – bijvoorbeeld vacüum of lucht – en een lagere snelheid – bijvoorbeeld glas of water – veroorzaakt een fasesprong van 180 graden als het een overgang is van een grotere naar een lagere golfsnelheid. Die overgangsrichting wordt bepaald door de bewegingsrichting van de golf.  Als de overgang omgekeerd van langzamer naar sneller is, dan is er wel (kans op) reflectie maar geen fasesprong. Dat volgt uit de Fresnel vergelijkingen voor reflectie en transmissie van licht.

In de hiernavolgende uitleg van de werking van de interferometer maak ik gebruik van fasepijlen die eigenlijk niet de fase van de golf zelf weergeven maar die wel corresponderen met het faseverschil tussen de golven die onder- en bovenlangs lopen. Ze staan voor het faseverschil dat ze hebben als ze elkaar weer ontmoeten om te interfereren. Het uitgangspunt is dat de optische weg – het aantal golflengtes – onder en bovenlangs gelijk is. Naderhand zal blijken dat het ook genoeg is als de optische wegen precies een geheel aantal golflengtes verschillen.

Bij in figuur 1 afgebeelde Mach-Zehnder interferometer zit de spiegelende laag in de eerste beamsplitter BS1 linksboven – zie pijl. De invallende golf wordt gesplitst in een gereflecteerd deel U dat bovenlangs gaat en een rechtdoorgaand deel D dat onderlangs gaat. Het gereflecteerde deel U ondergaat bij BS1 een fasesprong van 180 graden. Bij de tweede beamsplitter BS2 zit de spiegelende laag juist rechtsonder – zie tweede pijl. Alleen de invallende golf D ondervindt hier bij reflectie een 180 graden fasesprong.

Figuur 1 – Mach-Zehnder interferometer met beamsplitters die aan één zijde half spiegelend zijn.

We volgen nu eerst de golf U die bovenlangs gaat. In figuur 2 is dat via de groene fasepijl. We beginnen met een omhoog wijzende fasepijl – 90 graden. De  gereflecteerde golf – U – ondervindt bij BS1 een fasesprong van 180 graden en daarna nog een keer door de bovenste volle spiegel M. Totaal na spiegel M is dan 360 graden dus oftewel 0 graden. Dat betekent dat de fasepijl weer omhoog wijst.

Figuur 2 – Bij reflectie op een lucht-glas oppervlak volgt een fasesprong van 180 graden. Bij doorgang niet. We starten met een fase van 90 graden, pijl omhoog.

Daarna gaat de golf U voor de helft door BS2 heen – geen reflectie, dus geen fasesprong – en arriveert bij detector 1 met een door voorafgaande reflecties aan BS1 en M totale fasesprong van 360 graden oftewel 0 graden. Omdat we startten met 90 graden eindigen we hier dus ook weer met 90 graden. De fasepijl van U wijst bij detector 1 dus weer omhoog. Zie figuur 3. En voor wat de reflectie van U naar detector 2 betreft: omdat de spiegelende laag van BS2 aan de onderkant zit ondervindt de naar detector 2 gereflecteerde golf U bij BS2 géén fasesprong. Dus ook bij detector 2 arriveert de helft van golf U met de fasepijl omhoog. Bij beide detectoren aangekomen wijst de – groene – fasepijl van golf U nu omhoog, 90 graden.

Figuur 3 – Golf U die reflecteert in BS2 ondervindt geen fasesprong want de reflectie is daar van een golf die beweegt komend van een trager medium – glas – naar het  snellere medium achter de spiegel – lucht. Golf D ondervindt daarentegen wel een fasesprong door reflectie aan de spiegelende buitenzijde van BS2.

Nu volgen we de andere helft van de golf die door BS1 rechtdoor is gegaan – golf D – met rode fasepijl. Zie ook figuur 3. De oorspronkelijke golf startte met een fase van 90 graden, pijl omhoog. Bij doorgang door BS1 – de helft van de golf – is er geen reflectie en dus ondervindt D geen fasesprong. D reflecteert daarna aan de onderste volle spiegel M waardoor D daar een fasesprong van 180 graden ondervindt. De pijl wijst daardoor nu dus omlaag – 270 graden. Golf D komt dan aan bij BS2 met zijn fasepijl nog steeds omlaag. Op weg naar detector 1 reflecteert D nu aan de spiegelende zijde van BS2 en krijgt daarom nog een fasesprong van 180 graden en de rode pijl wijst dan weer omhoog. Het totaal aan fasesprongen voor D bij detector 1 is dan opgeteld 360 graden wat weer equivalent is aan 0 graden.

Richting detector 2 is er geen fasesprong voor D – geen spiegeling want D gaat nu zonder reflectie recht door BS2 heen. De rode pijl blijft omlaag wijzen. De totale fasesprong bij aankomst op detector 2 van D is en blijft 180 graden en was alleen het gevolg van die enkele reflectie onderlangs in spiegel M. Ik hoop dat u het allemaal heeft kunnen volgen, lees eventueel opnieuw.

Nu kunnen we zien aan de laatste figuur dat golf D en U elkaar versterken bij detector 1 – gelijke fasen – en dat D en U elkaar uitdoven bij detector 2 – tegengestelde fasen. Het maakt hier overigens niet uit met welke fase de golf begint, het gaat om de optelling van de fasesprongen onderweg en het eventuele faseverschil dat bij het samenvoegen van de twee gehalveerde golven bestaat  waardoor constructieve of destructieve interferentie optreedt.

Voor dit verhaal, het uitdoven van het licht bij een van de twee detectoren, is het eigenlijk al voldoende als de optische weg onder- en bovenlangs precies een geheel aantal golflengtes verschillen. Voor de faseverschillen is alleen het wegverschil na aftrek van het geheel aantal golflengtes belangrijk, want na 360 graden beginnen we weer opnieuw te tellen vanaf 0. Bijvoorbeeld: een wegverschil van bijvoorbeeld 355,5 golflengtes resulteert in een faseverschil van 180 graden, alleen die laatste halve golflengte is dus belangrijk. Bij monochromatisch licht – van één enkele golflengte – werkt deze interferometer daarom altijd uitstekend. Maar bij wit licht en ongelijke optische weglengtes boven- en onderlangs zullen we merken dat de verschillende kleuren verdeeld gaan worden over de twee detectoren omdat de golflengtes voor de componenten van dat witte licht van elkaar verschillen en daardoor ook uiteenlopende faseverschillen gaan vertonen.

Lees eventueel ook deze uitstekende verklaring van de Mach-Zehnder en zijn werking.

Belangrijk is hier dat deze verklaring van de werking net zo goed opgaat voor lichtgolven als kwantumgolven. Maar zodra we met fotonen – deeltjes die een weg afleggen en toch met zichzelf interfereren – gaan werken komen we in de problemen, vooral met ons begrip.

Hopelijk heb ik met dit verhaal iets rechtgezet ten aanzien van de onjuiste uitleg in het boek van deze interferometer. Maar de uitkomst – dat bij gelijke weglengte alle licht aankomt bij detector 1 – blijft staan. Gelukkig.