De Mach-Zehnder interferometer verklaard – en een correctie

In de eerste editie van mijn boek wordt bij de verklaring van de werking van de Mach-Zehnder interferometer ervan uitgegaan dat de lichtgolf en ook de kwantumgolf bij elke spiegeling een fasesprong van 90o maakt. Dat is helaas niet 100% correct. In de 2e editie is dat gecorrigeerd maar wordt deze interferometer alleen verklaard aan de hand van de zogenaamde vlakke beamsplitter en niet van de veel toegepaste cube beamsplitter, die volgens sommige bronnen toch weer anders werkt.

Onthoudt: bij een spiegeling op een volle spiegel is er een fasesprong van 180wanneer het licht reflecteert tegen het oppervlak van een trager, dichter, medium maar er is geen fasesprong wanneer het  reflecteert tegen het oppervlak van een sneller, minder dicht, medium. Zie ook: Fresnelprincipe

Mach-Zehnder met cube beam splitter

Indien er gebruik gemaakt van het hieronder afgebeelde cube beamsplitter én wanneer de hoek van reflectie die de invallende straal maakt met het reflecterend oppervlak 45o is dan treedt er volgens sommige bronnen een fasesprong van 90o op in plaats van 180o. Bij rechtdoorgaand licht is er geen fasesprong. Als we daar van uitgaan, zoals in het hieronder volgende, dan zullen we zien dat het uiteindelijk effect na de 2e beamsplitter toch weer hetzelfde is als wanneer er vlakke beamsplitters worden toegepast.

Figuur 1 – Cube Beamsplitter

Zie figuur 2. We gaan er weer van uit dat de weglengtes tussen de beamsplitters onder en bovenlangs gelijk zijn en dat het ΔΦ blokje geen faseverschil introduceert. Verder is het zo dat bij de volle spiegels 2 en 3 geen fasesprong optreedt omdat de reflectie daar in glas optreedt tegen een spiegelende laag waarachter lucht, dus een sneller voortplantingsmedium, zit. Overigens zouden eventuele fasesprongen tengevolge van die volle spiegels onder en bovenlangs hetzelfde zijn en dus uiteindelijk bij samenkomst in beam splitter 4 geen faseverschil teweegbrengen.

Figuur 2 – Mach-Zehnder – gesloten configuratie met cube beam splitters.

Het licht dat in beamsplitter 1 reflecteert en vervolgens bovenlangs naar D1  gaat ondervindt alleen bij 1 een fasesprong van 90o. Bij beamsplitter 4 gaat het licht rechtdoor en daar treedt dus geen fasesprong op. Het licht dat onderlangs naar D1 gaat, en dus recht door beamsplitter  1 gaat, ondervindt alleen bij beamsplitter 4 een fasesprong van 90o. Voor het samengestelde licht dat aankomt bij D1 is het faseverschil dus 0o. De interferentie na beam splitter 4 is dan constructief.

NB: Bij de prisma’s 3 en 4 reflecteert het licht binnen het glas 100% tegen de spiegelende achterzijde, dus komend van een trager medium (glas) dan het medium achter de spiegels (lucht) en ondervindt geen fasesprong volgens het fresnelprincipe.

Het licht dat bovenlangs naar D2 gaat ondervindt  bij de reflecties in beide beamsplitters 1 en 4 een faseverschuiving van 90o, dus totaal 180o. Het licht dat onderlangs gaat naar D2 reflecteert alleen in 3 en ondervindt dus geen faseverschuiving. Voor het samengestelde licht dat aankomt bij bij D2 is het faseverschil dus 180o – 0o = 180o. Tegenfase. De interferentie na beam splitter 4 is hier destructief.

Mach-Zehnder met de vlakke beamsplitter

Maar er is een ander type beamsplitter, de vlakke beamsplitter, die anders werkt zodat de fasesprongen daar essentieel anders gaan. Dit type wordt wel in de 2e editie van mijn boek uitgelegd maar het kan geen kwaad om dat hier nog eens over te doen.

Figuur 3 – Vlakke beamsplitter

Een reflectie waarbij de het spiegelend oppervlak de grens is tussen een media met een hoge snelheid – bijvoorbeeld vacüum of lucht – en een lagere snelheid – bijvoorbeeld glas of water – veroorzaakt een fasesprong van 180 graden als het een overgang is van een grotere naar een lagere golfsnelheid. Die overgangsrichting wordt bepaald door de bewegingsrichting van de golf.  Als de overgang omgekeerd van langzamer naar sneller is, dan is er wel (kans op) reflectie maar geen fasesprong. Dat volgt uit de Fresnel vergelijkingen voor reflectie en transmissie van licht. De reis van het licht door het glas veroorzaakt ook een kleine faseverschuiving maar die blijkt bij de twee beamsplitters in de Mach-Zehnder elkaar weer op te heffen.

In de hiernavolgende uitleg van de werking van de interferometer met vlakke beamsplitters, figuur 4, maak ik gebruik van fasepijlen die eigenlijk niet de fase van de golf zelf weergeven maar die corresponderen met het faseverschil tussen de golven die onder- en bovenlangs lopen. Ze staan voor het faseverschil dat ze hebben als ze elkaar weer ontmoeten in BS2 om te interfereren. Het uitgangspunt is dat de optische weg – het aantal golflengtes – onder en bovenlangs gelijk is. Naderhand zal blijken dat het ook genoeg is als de optische wegen precies een geheel aantal golflengtes verschillen.

Bij in figuur 4 afgebeelde Mach-Zehnder interferometer zit de spiegelende laag in de eerste beamsplitter BS1 linksboven – zie donkerblauwe pijl. De invallende golf wordt gesplitst in een gereflecteerd deel U dat bovenlangs gaat en een rechtdoorgaand deel D dat onderlangs gaat. Het gereflecteerde deel U ondergaat bij BS1 een fasesprong van 180o. Bij de tweede beamsplitter BS2 zit de spiegelende laag juist rechtsonder – zie tweede pijl. Alleen de van onderlangs komende golf D ondervindt hier bij reflectie een 180o fasesprong.

Figuur 4 – Mach-Zehnder interferometer met vlakke beamsplitters, die dus aan één zijde half spiegelend zijn.

We volgen nu eerst de golf U die bovenlangs gaat. In figuur 5 hieronder is dat aan de hand van de groene fasepijl. We beginnen, willekeurig, met een omhoog wijzende fasepijl: 90o. De  gereflecteerde golf – U – ondervindt bij BS1 een fasesprong van 180o en daarna nog een keer door de bovenste volle spiegel M. Totaal na spiegel M is dan 360o dus oftewel 0o Dat betekent dat de fasepijl weer omhoog wijst. Let op: dat er bij het begin van de golf twee fasepijlen weergeven staan betekent niet dat de golf daar al in twee delen is gesplitst.

Figuur 5 – Bij reflectie op een lucht-glas oppervlak volgt een fasesprong van 180 graden. Bij doorgang niet. We starten met een fase van 90 graden, pijl omhoog.

Daarna gaat de golf U voor de helft door BS2 heen – hier geen reflectie, dus geen fasesprong – en arriveert bij detector 1 met een door voorafgaande reflecties aan BS1 en M totale fasesprong van 360o oftewel 0o graden. Omdat we startten met 90o eindigen we hier dus ook weer met 90o. De fasepijl van U wijst bij detector 1 dus weer omhoog. Zie figuur 6.

En voor wat de reflectie van U naar detector 2 betreft: omdat de spiegelende laag van BS2 aan de onderkant zit ondervindt de naar detector 2 gereflecteerde golf U bij BS2 géén fasesprong. Dus ook bij detector 2 arriveert de helft van golf U met de fasepijl omhoog. Bij beide detectoren aangekomen wijst de – groene – fasepijl van golf U nu omhoog, 90o.

Figuur 6 – Golf U die reflecteert in BS2 ondervindt geen fasesprong want de reflectie is daar van een golf die beweegt komend van een trager medium – glas – naar het  snellere medium achter de spiegel – lucht. Golf D ondervindt daarentegen wel een fasesprong door reflectie aan de spiegelende buitenzijde van BS2.

Nu volgen we de andere helft van de golf die door BS1 rechtdoor is gegaan – golf D – met de rode fasepijl. Zie ook figuur 6. De oorspronkelijke golf lieten we daar starten met een fase van 90o, pijl omhoog. Bij doorgang door BS1 – de helft van de golf – is er geen reflectie en dus ondervindt D geen fasesprong. D reflecteert daarna aan de onderste volle spiegel M waardoor D daar een fasesprong van 180o ondervindt. De pijl wijst daardoor nu dus omlaag – 270o. Golf D komt dan aan bij BS2 met zijn fasepijl nog steeds omlaag. Zie figuur 6. Op weg naar detector 1 reflecteert D nu aan de spiegelende zijde van BS2 en krijgt daarom nog een fasesprong van 180o en de rode pijl wijst dan weer omhoog. Het totaal aan fasesprongen voor D bij detector 1 is dan opgeteld 360o wat hetzelfde is als 0o.

Richting detector 2 is er geen fasesprong voor D – geen spiegeling want D gaat nu zonder reflectie recht door BS2 heen. De rode pijl blijft omlaag wijzen. De totale fasesprong bij aankomst op detector 2 van D is en blijft 180o en was alleen het gevolg van die enkele reflectie onderlangs in spiegel M. Ik hoop dat u het allemaal heeft kunnen volgen, lees dit eventueel opnieuw.

Nu kunnen we zien aan de rode en groene pijlen in figuur 6 dat golf D en U elkaar versterken bij detector 1 – gelijke fasen – en dat D en U elkaar uitdoven bij detector 2 – tegengestelde fasen. Het maakt hier overigens niet uit met welke fase de golf begint, het gaat om de optelling van de fasesprongen onderweg en het eventuele faseverschil dat bij het weer samenvoegen van de twee gehalveerde golven bestaat  waardoor constructieve of destructieve interferentie optreedt.

Het type beam splitter maakt niet uit

Voor dit verhaal, het uitdoven van het licht bij een van de twee detectoren, is het eigenlijk al voldoende als de optische weg onder- en bovenlangs precies een heel aantal golflengtes verschillen. Voor de faseverschillen is alleen het wegverschil na aftrek van het geheel aantal golflengtes belangrijk, want na 360o beginnen we weer opnieuw te tellen vanaf 0o. Bijvoorbeeld: een wegverschil van bijvoorbeeld 355,5 golflengtes resulteert in een faseverschil van 180o, alleen die laatste halve golflengte is dus belangrijk. Bij monochromatisch licht – van één enkele golflengte – werkt deze interferometer daarom ook bij weglengteverschillen van een heel aantal golflengtes uitstekend. Maar bij wit licht en ongelijke optische weglengtes boven- en onderlangs zullen we merken dat de verschillende kleuren verdeeld gaan worden over de twee detectoren omdat de golflengtes voor de componenten van dat witte licht van elkaar verschillen en daardoor ook uiteenlopende faseverschillen gaan vertonen.

Of we nu gebruik maken van vlakke beam splitters of van cube beam splitters, het resultaat is hetzelfde. Zelfs als cube beam splitters toch fasesprongen van 180o zouden vertonen in plaats van de 90o waar we hierboven van uit zijn gegaan.

Lees eventueel ook deze uitstekende verklaring van de Mach-Zehnder met vlakke beam splitters en zijn werking.

EM-golven, fotonen en kwantumgolven

Belangrijk is hier dat deze verklaring van de werking net zo goed opgaat voor lichtgolven als kwantumgolven. Maar zodra we met fotonen – deeltjes die een weg afleggen en toch met zichzelf interfereren – gaan werken komen we in de problemen, vooral met ons begrip.

Hopelijk heb ik met dit verhaal iets rechtgezet ten aanzien van de onjuiste uitleg  van deze interferometer in de eerste editie van het boek. Maar de uitkomst – dat bij gelijke weglengte alle licht aankomt bij detector 1 – blijft staan. Gelukkig.